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设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈[-1,1]).(1)若t>0,求f(x)的最小值h(t);(2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=tx
2
+2t
2
x+t-1(x∈[-1,1]).
(1)若t>0,求f(x)的最小值h(t);
(2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m
2
+4m恒成立,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=t(x+t)
2
-t
3
+t-1,
①若-t<-1,即t>1时,f(x)在[-1,1]上单调递增,f(x)的最小值为f(-1)=-2t
2
+2t-1;
②若-1≤-t<0,即0<t≤1时,则f(x)在[-1,1]上的最小值为f(-t)=-t
3
+t-1;
∴h(t)=
{
-t
3
+t-1
-2t
2
+2t-1
t∈(0, 1] t∈(1,+∞). (6分)
(2)令g(t)=h(t)+2t=
{
-t
3
+3t-1
-2t
2
+4t-1
t∈(0, 1] t∈(1, 2]. (7分)
①0<t≤1时,由g′(t)=-3t
2
+3≥0,
∴g(t)在(0,1]单调递增;(9分)
②1<t≤2时,g(t)=-2t
2
+4t-1=-2(t-1)
2
+lg(t)在(1,2]上单调递减,
由①、②可知,g(t)在区间(0,2]上的最大值为g(1)=1.(11分)
所以h(t)<-2t+m
2
+4m在(0,2]内恒成立,等价于g(t)<m
2
+4m在(0,2]内恒成立,
即只要1<m
2
+4m,
解m
2
+4m-1>0得:m<-2-
√
5
或m>-2+
√
5
所以m的取值范围为(-∞, -2-
√
5
)∪(-2+
√
5
, +∞). (14分)
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