设f（x）是定义在R上的函数，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），f（-x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2x-2，若函数g（x）=f（x）-loga（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（-1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）试题及答案-单选题-云返教育

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设f（x）是定义在R上的函数，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），f（-x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-2，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（-1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）

试题解答

解：由f（2-x）=f（2+x），得到函数f（x）关于x=2对称，
由f（-x）=f（x）得函数f（x）是偶函数，
且f（2-x）=f（2+x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
此时f（x）=f（-x）=2^-x-2，
由g（x）=f（x）-log_a（x+1）=0得f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）
作出函数f（x）的图象如图：

①若a＞1，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点A（2，2）时，两个图象有两个交点，
此时g（2）=log_a3=2，解得a=

√3

，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点B（6，2）时，两个图象有四个交点，
此时g（6）=log_a7=2，解得a=

√7

，此时要使两个函数有3个不同的零点，则

√3

＜a＜

√7

，
②若0＜a＜1，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点C（4，-1）时，两个图象有两个交点，
此时g（4）=log_a5=-1，解得a=

，
当函数g（x）=log_a（x+1），经过点D（8，-1）时，两个图象有四个交点，
此时g（6）=log_a9=-1解得a=

，此时要使两个函数有3个不同的零点，则

＜a＜

，
综上：实数a的取值范围是（

，

）∪（

√3

，

√7

），
故选：A．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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