试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），且[a，b]（a＜b）是f（x）的一个单调区间．（1）求证：b-a≤1；（2）已知区间[0，1]为f（x）的一个单调区间，且对任意x＜0，都有f（2x）＞f（2），解关于实数x的不等式f（-10.5）＞f（x2+6x）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），且[a，b]（a＜b）是f（x）的一个单调区间．
      （1）求证：b-a≤1；
      （2）已知区间[0，1]为f（x）的一个单调区间，且对任意x＜0，都有f（2      x）＞f（2），解关于实数x的不等式f（-10.5）＞f（x2+6x）．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）假设b-a＞1，则b＞a+1，
      不妨取特殊值a=0，则b＞1，
      ∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-b）=f（b），
      又函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，
      ∴f（4-b）=f（2-b）
      ∴f（2-b）=f（b）
      而区间[0，b]是f（x）的一个单调区间，?f（2-b）≠f（b），
      这与f（2-b）=f（b）矛盾，故假设不成立，
      ∴b-a≤1；
      解：（2）∵对任意x＜0，都有f（2      x）＞f（2）=f（0），
      其中0＜2      x＜1，
      ∴区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，
      ∵函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，
      ∴f（2-x）=f（-x），f（x）=f（2+x），
      且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），
      ∴f（-x）=f（x），函数f（x）是偶函数，
      ∵区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，根据偶函数的对称性得：
      区间[-1，0]为f（x）的一个单调减区间，
      根据函数的周期性得：区间[1，2]为f（x）的一个单调减区间，
      又???等式f（-10.5）＞f（x      2+6x）可化成：
      f（1.5）＞f（x      2+6x）．
      在一个周期长的区间[0，2）上考虑此不等式的解，有：
      0≤x      2+6x≤
      1
      2
      或
      3
      2
      ≤x2+6x＜2，
      解之得：
      -6-
      √38
      2
      ≤x≤-6或0≤x≤
      -6+
      √38
      2
      ；或-3-
      √11
      ＜x≤
      -6-
      √42
      2
      或
      -6+
      √42
      2
      ≤x＜-3+
      √11
      ．
      根据函数的周期性得：
      不等式f（-10.5）＞f（x      2+6x）在R上的解是：
      -6-
      √38
      2
      +2k≤x≤-6+2k或+2k≤x≤
      -6+
      √38
      2
      +2k；或-3-
      √11
      +2k＜x≤
      -6-
      √42
      2
      +2k或
      -6+
      √42
      2
      +2k≤x＜-3+
      √11
      +2k．k∈Z．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn