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  • 定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（x4）=12f（x），且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则f（12010）的值为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
      x
      4
      ）=
      1
      2
      f（x），且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则f（
      1
      2010
      ）的值为（　　）

      试题解答

      C
      解：由f（x）+f（1-x）=1，f（0）=0得：f（1）=1 又令x=
      1
      2
      得：f(
      1
      2
      ) =
      1
      2

      由f（
      x
      4
      ）=
      1
      2
      f（x）得：f(
      1
      4
      ) =
      1
      2
      f(1)=
      1
      2

      ∵当0≤x      1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），∴当
      1
      4
      ≤x ≤
      1
      2
      时，f(x)=
      1
      2

      当
      1
      2
      ≤x ≤
      3
      4
      时，
      1
      4
      ≤1-x≤
      1
      2
      ，∴f(1-x)=
      1
      2
      ，∴f(x)=1- f(1-x)= 1-
      1
      2
      =
      1
      2

      又由f（
      x
      4
      ）=
      1
      2
      f（x）得：f(
      1
      2010
      ) =
      1
      2
      f(
      2
      1005
      ) =
      1
      4
      f(
      8
      1005
      )=
      1
      8
      f(
      32
      1005
      )=
      1
      16
      f(
      128
      1005
      )=
      1
      32
      f(
      512
      1005
      )
      ∵
      1
      2
      ＜
      512
      1005
      ＜
      3
      4
      ，∴f(
      512
      1005
      ) =
      1
      2
      ，∴f(
      1
      2010
      ) =
      1
      32
      ×
      1
      2
      =
      1
      64

      故选C
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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