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  • 定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（x5）=12f（x），且当0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），则f（12010）等于（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
      x
      5
      ）=
      1
      2
      f（x），且当0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），则f（
      1
      2010
      ）等于（　　）

      试题解答

      C
      解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
      又f（
      x
      5
      ）=
      1
      2
      f（x），
      ∴当x=1时，f（
      1
      5
      ）=
      1
      2
      f（1）=
      1
      2
      ；
      令x=
      1
      5
      ，由f（
      x
      5
      ）=
      1
      2
      f（x）得：
      f（
      1
      25
      ）=
      1
      2
      f（
      1
      5
      ）=
      1
      4
      ；
      同理可求：f（
      1
      125
      ）=
      1
      2
      f（
      1
      25
      ）=
      1
      8
      ；
      f（
      1
      625
      ）=）=
      1
      2
      f（
      1
      125
      ）=
      1
      16
      ；
      f（
      1
      3125
      ）=
      1
      2
      f（
      1
      625
      ）=
      1
      32
      ①
      再令x=
      1
      2
      ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
      1
      2
      ）=
      1
      2
      ，
      ∴f（
      1
      2
      ）+f（1-
      1
      2
      ）=1，解得f（
      1
      2
      ）=
      1
      2
      ，
      令x=
      1
      2
      ，同理反复利用f（
      x
      5
      ）=
      1
      2
      f（x），
      可得f（
      1
      10
      ）=）=
      1
      2
      f（
      1
      2
      ）=
      1
      4
      ；
      f（
      1
      50
      ）=
      1
      2
      f（
      1
      10
      ）=
      1
      8
      ；
      …
      f（
      1
      1250
      ???=
      1
      2
      f（
      1
      250
      ）=
      1
      32
      ②
      由①②可得：，有f（
      1
      1250
      ）=f（
      1
      3125
      ）=
      1
      32
      ，
      ∵0≤x      1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而0＜
      1
      3125
      ＜
      1
      2010
      ＜
      1
      1250
      ＜1
      所以有f（
      1
      2010
      ）≥f（
      1
      3125
      ）=
      1
      32
      ，
      f（
      1
      2010
      ）≤f（
      1
      1250
      ）=
      1
      32
      ；
      故f（
      1
      2010
      ）=
      1
      32
      ．
      故选C．
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    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

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