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  • 设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．（1）判断f(x)=3x(x＞0)是否为凹函数？（2）已知函数f2（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；（3）设定义在R上的函数f3（x）满足对于任意实数x，y都有f3（x+y）=f3（x）?f3（y）．求证：f3（x）为R上的凹函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(
      x1+x2
      2
      )≤
      1
      2
      [f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．
      （1）判断f(x)=
      3
      x
      (x＞0)是否为凹函数？
      （2）已知函数f      2（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
      （3）设定义在R上的函数f      3（x）满足对于任意实数x，y都有f3（x+y）=f3（x）?f3（y）．求证：f3（x）为R上的凹函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）是凹函数，证明如下：
      ?x      1，x2∈（0，+∞），∵
      1
      2
      [f(x1)+f(x2)]=
      1
      2
      (
      3
      x1
      +
      3
      x2
      )≥
      3
      √x1x2
      ≥
      3
      x1+x2
      2
      =f(
      x1+x2
      2
      )
      ∴f(
      x1+x2
      2
      )≤
      1
      2
      [f(x1)+f(x2)]，
      ∴f(x)=
      3
      x
      (x＞0)是凹函数
      （2）∵函数f      2（x）=x|ax-3|=
      {
      ax2-3x ax≥3
      -ax2+3x ax＜3

      结合二次函数的图象，要想使函数f      2（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或
      {
      a＞0
      3
      a
      ≤3

      ∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
      （3）证明：设?x      1，x2∈R
      f3(x1)+f3(x2)=f3(
      x1
      2
      +
      x1
      2
      )+f3(
      x2
      2
      +
      x2
      2
      )
      =      f32(
      x1
      2
      )+f32(
      x2
      2
      )≥2f3(
      x1
      2
      )?f3(
      x2
      2
      )=2f3(
      x1+x2
      2
      )
      即
      f3(x1)+f3(x2)
      2
      ≥f3(
      x1+x2
      2
      )
      故f      3（x）为R上的凹函数
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