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  • 设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．（1）求f(12)的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
      （1）求f(
      1
      2
      )的值；
      （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
      （3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
      ∴f（1）=0（2分）
      令m=2，n=
      1
      2
      ，则f(1)=f(2×
      1
      2
      )=f(2)+f(
      1
      2
      )，
      ∴f(
      1
      2
      )=f(1)-f(2)=-1（4分）

      （2）设0＜x      1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1
      ∵当x＞1时，f（x）＞0
      ∴f(
      x2
      x1
      )＞0（6分）
      f(x      2)=f(x1×
      x2
      x1
      )=f(x1)+f(
      x2
      x1
      )＞f(x1)（9分）
      所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）

      （3）∵y=4sinx的图象如右图所示
      又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
      由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
      且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，
      由图象在[0，2π]内有1个交点，
      在（2π，4π]内有2个交点，
      在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，
      后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．
      故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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