设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R上单调递减．试题及答案-单选题-云返教育

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设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）证明：f（x）在R上单调递减．

试题解答

见解析

证明：（1）对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），
令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，所以f（1）＞0
所以 f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1
f（x）=

f(-x)

＞1
（2）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
根据（1）可知 f（x₁-x₂）＞1
因为f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）?f（x₂）＞f（x₂）
所以函数是单调递减

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设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．（1） 求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；（2） 证明：f（x）在R上单调递减．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R上单调递减．试题及答案-单选题-云返教育