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已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.(2)判断f(x)的单调性并加以证明.(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减,求实数k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)?f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x+y)=f(x)?f(y)-f(x)-f(y)+2令x=y=0,
f(0)=f(0)?f(0)-f(0)-f(0)+2
∴f
2
(0)-3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
则 f(1)=f(1+0)=f(1)?f(0)-f(1)-f(0)+2=1,
与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2 (1分)
设x<0,则-x>0,那么f(-x)>2
又2=f(0)=f(x-x)=f(x)?f(-x)-f(x)-f(-x)+2
∴f(x)=
f(-x)
f(-x)-1
=1+
1
f(-x)-1
∵f(-x)>2
,∴0<
1
f(-x)-1
<1,从而1<f(x)<2(3分)
(2)函数f(x)在R上是增函数
设x
1
<x
2
则x
2
-x
1
>0,∴f(x
2
-x
1
)>2
f(x
2
)=f(x
2
-x
1
+x
1
)=f(x
2
-x
1
)f(x
1
)-f(x
2
-x
1
)-f(x
1
)+2
=f(x
2
-x
1
)[f(x
1
)-1]-f(x
1
)+2
∵由(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x
1
)-1>0,又f(x
2
-x
1
)>2
∴f(x
2
-x
1
)?[f(x
1
)-1]>2f(x
1
)-2
f(x
2
-x
1
)[f(x
1
)-1]-f(x
1
)+2>f(x
1
)
即f(x
2
)>f(x
1
)
∴函数f(x)在R上是增函数 (3分)
(3)∵由(2)函数f(x)在R上是增函数
∴函数y=f(x)-k在R上也是增函数
若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减
则x∈(-∞,0)时,g(x)=|f(x)-k|=k-f(x)
即x∈(-∞,0)时,f(x)-k<0,
∵x∈(-∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3分)
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