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  • 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；（2）若f（9）=7，解不等式：f（x2+2x）＞4试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
      （1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
      （2）若f（9）=7，解不等式：f（x      2+2x）＞4

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
      设0＜x      1＜x2，则 0＜
      x1
      x2
      ＜1，于是有：f(
      x1
      x2
      )＞1
      f（x      1）=f(x2?
      x1
      x2
      )=f（x2）+f(
      x1
      x2
      )-1＞f（x2）+1-1=f（x2）
      即：f（x      1）＞f（x2）．
      由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
      （2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
      f（x      2+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
      {
      x2+2x＞0
      3＞0
      x2+2x ＜3
      ，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
      所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
      （2）不等式f（x      2+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}
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