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  • 设函数f（t）对任意的整数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，且f（1）=1．（I）当t∈Z时，用t的代数式表示g（t）=f（t+1）-f（t）；（II）当t∈Z时，求函数f（t）的解析式；（Ⅲ）如果x∈[-1，1]，a∈R，且[f(1)]x2+[f(2)]x2+…+[f(2012)]x2＞[f(2013)]x2?a恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（t）对任意的整数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，且f（1）=1．
      （I）当t∈Z时，用t的代数式表示g（t）=f（t+1）-f（t）；
      （II）当t∈Z时，求函数f（t）的解析式；
      （Ⅲ）如果x∈[-1，1]，a∈R，且[f(1)]
      x
      2
      +[f(2)]
      x
      2
      +…+[f(2012)]
      x
      2
      ＞[f(2013)]
      x
      2
      ?a恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）由题设可令x=t，y=1，得f（t+1）=f（t）+f（1）+2t
      ∵f（1）=1
      ∴f（t+1）=f（t）+1+2t
      ∴g(t)=f(t+1)-f(t)=2t+1 ，(t∈Z)…（3分）
      （II）由（I）知f(t+1)-f(t)=2t+1 ，(t∈Z)
      ∴f（2）-f（1）=2×1+1，
      f（3）-f（2）=2×2+1，
      f（4）-f（3）=2×3+1，
      …，
      f(t)-f(t-1)=2×(t-1)+1 ，(t∈Z)
      ∴f（t）-f（1）=2[1+2+3+…+（t+1）]+（t-1）=t      2-1
      ∴当t∈Z时，函数f（t）的解析式为f(t)=      t2，(t∈Z)…（7分）．
      （III）由（II）可知[f(t)]
      x
      2
      =tx，
      所以不等式[f(1)]
      x
      2
      +[f(2)]
      x
      2
      +…+[f(2012)]
      x
      2
      ＞[f(2013)]
      x
      2
      ?a，
      可转化为1+2      x+3x+4x+…+2012x＞2013x?a
      也即(
      1
      2013
      )x+(
      2
      2013
      )x+(
      3
      2013
      )x+…+(
      2012
      2013
      )x＞a…（9分）
      而函数g(x)=(
      1
      2013
      )x+(
      2
      2013
      )x+(
      3
      2013
      )x+…+(
      2012
      2013
      )x在x∈[-1，1]上单调减，
      所以要使x∈[-1，1]，[f(1)]
      x
      2
      +[f(2)]
      x
      2
      +…+[f(2012)]
      x
      2
      ＞[f(2013)]
      x
      2
      ?a恒成立，
      则有a＜g（x）      min，
      而g(x)      min=g(1)=
      1
      2013
      (1+2+3+…+2012)=1006，
      ∴实数a的取值范围为（-∞，1006）…（12分）．
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