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  • 定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．（1）证明：f（x）在R上是减函数；（2）若4f(m+14)≥3，求实数m的范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．
      （1）证明：f（x）在R上是减函数；
      （2）若4f(
      m+1
      4
      )≥3，求实数m的范围．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：取y=1，则f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．设x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1-x2＞0，x1-x2+1＞1，
      因为当x＞1时f（x）＜0，所以f（x      1-x2+1）＜0．
      f（x      1）=f（x1+1）+1=f[x2+（x1-x2+1）]+1
      =f（x      2）+f（x1-x2+1）-1+1=f（x2）+f（x1-x2+1）．
      因为f（x      1-x2+1）＜0，所以f（x2）＜f（x1）．
      所以函数f（x）在R上是减函数；
      （2）解：取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
      所以f（0）=1，
      由4f(
      m+1
      4
      )≥3，得4f(
      m+1
      4
      )=4f(
      m
      4
      )-1≥3．
      所以4f(
      m
      4
      )≥4，f(
      m
      4
      )≥1．
      因为f（x）为实数集上的减函数，且f（0）=1
      所以
      m
      4
      ≤0．
      则m≤0．
      所以实数m的范围是（-∞，0]．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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