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设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求b的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求b的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

试题解答

见解析

解（1）f（x）=lg

1+ax

1+2x

（-b＜x＜b）是奇函数等价于：
对任意x∈（-b，b）都有

{

f(-x)=-f(x) ①

1+ax

1+2x

＞0 ②

①式即为lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

=lg

1+2x

1+ax

，由此可得

1-ax

1-2x

1+2x

1+ax

，
也即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，
代入②式，得

1-2x

1+2x

＞0，即-

＜x＜

，
此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于
-

≤-b＜b≤

，
所以b的取值范围是（0，

]．
（2）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，
由b∈（0，

]，得-

≤-b＜x₁＜x₂＜b≤

，
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x₂

1+2x₂

-lg

1-2x₁

1+2x₁

=lg

(1-2x₂)(1+2x₁)

(1+2x₂)(1-2x₁)

＜lg1=0
因此f（x）在（-b，b）内是减函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求b的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题