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定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0,(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(3)若x>0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0,
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(3)若x>0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合.
试题解答
见解析
解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0;
令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0;
(2)f(x)是偶函数,证明如下
令y=-1,∵f(xy)=f(x)+f(y),∴f(-x)=f(x)+f(-1),
∵f(-1)=0,∴f(-x)=f(x),∵f(x)不恒为0,∴f(x)是偶函数;
(3)∵f(x+1)-f(2-x)≤0,∴f(x+1)≤f(2-x)
∵f(x)是偶函数,∴f(|x+1|)≤f(|2-x|)
∵x>0时,f(x)为增函数,
∴|x+1|≤|2-x|
∴x≤
1
2
∴满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合为{x|x≤
1
2
}.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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