已知函数f(x)=a-12x+1．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）在（2）条件下，解不等式：f(log12x-1)＞0．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=a-

2^x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）在（2）条件下，解不等式：f(log_1
2x-1)＞0．

见解析

解：（1）对函数f(x)=a-

2^x+1

求导数，得f'（x）=-

-2^xln2

(2^x+1)²

2^xln2

(2^x+1)²

，
∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定义域R上恒成立
∴不论a为何实数f（x）总是R上的增函数；
（2）∵f（x）定义域为R，
∴若函数为奇函数时，f（0）=a-

2⁰+1

=0，即a=

当a=

时，f(x)=

2^x+1

2^x-1

2(2^x+1)

，
∴f（-x）=

2^-x-1

2(2^-x+1)

1-2^x

2(2^x+1)

=-f（x），符合题意．
因此，当a=

时，f（x）为奇函数；
（3）在（2）条件下，可得函数为奇函数且是R上的增函数
∴不等式f(log_1
2x-1)＞0，即f(log_1
2x-1)＞f(0)
可得log_1
2x-1＞0，即log_1
2x＞1，解之得0＜x＜

，
所以原不等式的解集为：{x|0＜x＜

}．

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