定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f(x)=2x-12x+1．（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f(x)=

2^x-1

2^x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，求实数m的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），由f（x）为R上的奇函数，
得f(-x)=-f(x)=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

2^x+1

，
∴f(x)=

2^x-1

2^x+1

(x∈(-1，0))
又由奇函数得f（0）=0．
∵f（x+1）=f（x-1），
∴当x=0时，f（1）=f（-1）
又∵f（-1）=-f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f(x)=

{

2^x-1

2^x+1

x∈(-1，1)

0x=±1

．
（Ⅱ）∵x∈（0，1）f(x)=

2^x-1

2^x+1

2^x+1-2

2^x+1

=1-

2^x+1

，
∴2^x∈（1，2），∴1-

2^x+1

∈(0，

)．
若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，
则m＜

实数m的取值范围为(-∞，

)．

标签