已知定义R在的函数f（x）=x|x-a|，其中a∈R，有如下判断，①无论a取任意实数，函数f（x）的图象均过原点；②若f（x）是奇函数，则a=0；③当a＞2时，函数f（x）在区间（-∞，2]上的解析式是f（x）=-x2+ax；④当a=1时，函数f（x）有最大值14；⑤当a=2时，若函数y=f（x）-m有3个零点，则0＜m＜1．其中正确的是．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义R在的函数f（x）=x|x-a|，其中a∈R，有如下判断，
①无论a取任意实数，函数f（x）的图象均过原点；
②若f（x）是奇函数，则a=0；
③当a＞2时，函数f（x）在区间（-∞，2]上的解析式是f（x）=-x²+ax；
④当a=1时，函数f（x）有最大值

；
⑤当a=2时，若函数y=f（x）-m有3个零点，则0＜m＜1．
其中正确的是．

试题解答

①②③⑤

解：∵函数f（x）=x|x-a|，其中a∈R，
对于①，f（0）=0恒成立，∴函数f（x）的图象均过原点，故①正确；
对于②，若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|=-x|x-a|，即x|x+a|=x|x-a|恒成立，∴-a=a，∴a=0，故②正确；
对于③，若a＞2，当x≤2时，则f（x）=x|x-a|=-x（x-a）=-x²+ax，故③正确；
对于④，当a=1时，f（x）=x|x-1|，取x=2，则f（2）=2＞

，故④不正确；
对于⑤，当a=2时，y=f（x）-m=x|x-2|-m，
当x≥2时，f（x）=x²-2x-m=（x-1）²-m-1，此时该函数在[2，+∞）上是增函数，∴当x≥2时，f（x）≥f（2）=-m；
当x＜2时，f（x）=-（x-1）²+1-m，此时该函数在（-∞，1）上是增函数，在[1，2）上是减函数，∴当x＜2时，f（x）≤f（1）=1-m；
结合图象可知，要使原函数有三个零点只需

{	-m＜0 1-m＞0

，解得0＜m＜1，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤

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必修1 人教A版单选题高中数学

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