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  • 设函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是增函数，g（x）=f（x+x0）-f（x0）且对任意x0≥-12，g（x）都不是奇函数，则M=3a+2b+c2b-3a的最小值为 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是增函数，g（x）=f（x+x0）-f（x0）且对任意x0≥-
      1
      2
      ，g（x）都不是奇函数，则M=
      3a+2b+c
      2b-3a
      的最小值为          ．

      试题解答

      3
      解：∵f（x）=ax3+bx2+cx是增函数，
      ∴f′（x）≥0，
      即3ax      2+2bx+c≥0 对任意x都成立；
      故必须有a＞0，且△=b      2-3ac≤0；
      即c≥
      b2
      3a
      ；
      g（x）=f（x+x      0）-f（x0）=a（x+x0）3+b（x+x0）2+c（x+x0）-f（x0）；
      g（-x）=f（-x+x      0）-f（x0）=a（-x+x0）3+b（-x+x0）2+c（-x+x0）-f（x0）；
      ∵g（x）不是奇函数，
      ∴g（x）+g（-x）=6ax      0x2+2bx2≠0，
      即（6ax      0+2b）x2≠0对x0≥-
      1
      2
      恒成立；
      ∵a＞0，
      ∴6a（-
      1
      2
      ）+2b＞0，
      即2b-3a＞0，
      ∴
      b
      a
      ＞
      3
      2
      ；
      M=
      3a+2b+c
      2b-3a
      =
      f′(1)
      2b-3a
      ≥0；
      M≥
      3a+2b+
      b2
      3a
      2b-3a
      =
      9+6
      b
      a
      +(
      b
      a
      )2
      6(
      b
      a
      )-9
      ，
      设t=
      b
      a
      ＞
      3
      2
      ，
      则不等式等价为M≥
      9+6t+t2
      6t-9
      =
      1
      6
      （t-
      3
      2
      ）+
      3
      2
      +
      27
      8
      ?
      1
      t-
      3
      2
      ≥
      3
      2
      +2
      √
      1
      6
      (t-
      3
      2
      )?
      27
      8
      ?
      1
      t-
      3
      2
      =
      3
      2
      +
      3
      2
      =3，
      故最小值为3，
      故答案为：3．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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