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  • 已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在R上的奇函数（1）当b=2时，求f（x）的值域；（2）若f（x）的值域为[-14，14]，求b的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x+a
      x2+b
      是定义在R上的奇函数
      （1）当b=2时，求f（x）的值域；
      （2）若f（x）的值域为[-
      1
      4
      ，
      1
      4
      ]，求b的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）=
      x+a
      x2+b
      是定义在R上的奇函数，
      ∴f（0）=
      a
      b
      =0，解得a=0，
      若b=2，则f（x）=
      x+a
      x2+b
      =
      x
      x2+2
      ，
      设y=f（x）=
      x
      x2+2
      ，
      则y（x      2+2）=x，
      即yx      2-x+2y=0，
      当y=0时，x=0，此时方程有解，
      当y≠0时，∵方程恒有解，
      ∴△=1-8y      2≥0，
      即      y2≤
      1
      8
      ，
      即-
      √2
      4
      ≤y≤
      √2
      4
      且y≠0，
      综上-
      √2
      4
      ≤y≤
      √2
      4
      ，
      即函数f（x）的值域为[-
      √2
      4
      ，
      √2
      4
      ]．
      （2）∵y=f（x）=
      x
      x2+b
      ，
      ∴yx      2-x+by=0，
      当y=0时，x=0，此时方程有解，
      当y≠0时，∵方程恒有解，
      ∴△=1-4by      2≥0，
      即4by      2≤1，
      ∵f（x）的值域为[-
      1
      4
      ，
      1
      4
      ]，
      ∴b＞0，
      即      y2≤
      1
      4b
      ，
      ∴
      1
      4b
      =
      1
      4
      ，
      即b=1．
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