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  • 设函数f（x）=lg（x+√x2+1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=lg（x+
      √x2+1
      ）．
      （1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
      （2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；

      试题解答

      见解析
      解：（1）它是奇函数．
      由
      {
      x+
      √x2+1
      ＞0
      x2+1≥0
      得x∈R，
      即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
      又∵f(-x)=lg(-x+
      √x2+1
      )=lg(x+
      √x2+1
      )-1=-lg(x+
      √x2+1
      )=-f(x)
      ∴函数f（x）是奇函数．
      （2）证明：设x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=lg
      x1+
      √x12+1
      x2+
      √x22+1
      ．
      令t=x+
      √x2+1
      ，则t1-t2=（x1+
      √x12+1
      ）-（x2+
      √x22+1
      ）
      =（x      1-x2）+（
      √x12+1
      -
      √x22+1
      ）=（x1-x2）+
      (x1-x2)(x1+x2)
      √x12+1
      +
      √x22+1
      ．

      =
      (x1-x2)(
      √x12+1
      +
      √x22+1
      +x1+x2)
      √x12+1
      +
      √x22+1

      ∵x      1-x2＜0，
      √x12+1
      +x1＞0，
      √x22+1
      +x2，
      √x12+1
      +
      √x22+1
      ＞0，
      ∴t      1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0＜
      t1
      t2
      ＜1，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜lg1=0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）在R上是单调增函数．
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