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  • 已知函数f(x)=x+ax，且f(1)=2．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性（须有证明过程）；（3）求f（x）在区间（0，+∞）的单调性（须有证明过程）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      a
      x
      ，且f(1)=2．
      （1）求a的值；
      （2）判断函数f（x）的奇偶性（须有证明过程）；
      （3）求f（x）在区间（0，+∞）的单调性（须有证明过程）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=x+
      a
      x
      ，且f(1)=2，∴1+a=2，解得 a=1．
      （2）函数f(x)=x+
      a
      x
      的定义域为{x|x≠1}，关于原点对称，
      且f（-x）=-x+
      1
      -x
      =-（x+
      1
      x
      ）=-f（x），故函数是奇函数．
      （3）设 0＜x      1＜x2＜1，由于
      f（x      1 ）-f（x2）=x1+
      1
      x1
      -（x2+
      1
      x2
      ）=（x1-x2）+（
      x2-x1
      x1x2
      ）=（x1-x2） （1-
      1
      x1x2
      ），
      由 0＜x      1＜x2＜1可得 x1-x2＜0，（1-
      1
      x1x2
      ）＜0，故有f（x1 ）-f（x2）＞0，
      故f（x）在（0，1）上是减函数，
      同理可得f（x）在（1，+∞）上是增函数．
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