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  • 已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函数，φ（x）=（a-1）f（x）（1ax-1+12）（1）判断?（x）的奇偶性，并给出证明；（2）证明：若xf（x）＞0，则?（x）＞0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函数，φ（x）=（a-1）f（x）（
      1
      ax-1
      +
      1
      2
      ）
      （1）判断?（x）的奇偶性，并给出证明；
      （2）证明：若xf（x）＞0，则?（x）＞0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
      又?（x）的定义域为{x∈R|x≠0}2分）
      ∴?(-x)=(a-1)f(-x)(
      1
      a-x-1
      +
      1
      2
      )=(a-1)f(-x)(
      ax
      1-ax
      +
      1
      2
      )
      =(a-1)f(-x)(
      1
      1-ax
      -
      1
      2
      )=(a-1)f(x)(
      1
      ax-1
      +
      1
      2
      )=?(x)
      ∴?（x）是偶函数．（6分）
      （2）若x＞0，则由已知，f（x）＞0，（7分）
      ①当a＞1时
      1
      ax-1
      +
      1
      2
      ＞0，a-1＞0∴?（x）＞0
      ②当0＜a＜1时
      1
      ax-1
      +
      1
      2
      ＜0，a-1＜0，∴?（x）＞0，（10分）
      又?（x）是偶函数，
      ∴x＜0，?（x）=?（-x）＞0．（11分）
      故当xf（x）＞0时，?（x）＞0．（12分）
      标签
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