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已知函数f(x)=a2-2x2x+1（a为常数）（1）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；（2）若f（x）为奇函数，求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a

2

-

2^x

2^x+1

（a为常数）
（1）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值．

试题解答

见解析

解：（1）证明：在（-∞，+∞）上任取两个值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

a

2

-

2^x₁

2^x₁+1

）-（

a

2

-

2^x₂

2^x₂+1

）
=

2^x₂

2^x₂+1

-

2^x₁

2^x₁+1

=

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵2＞1且x₁＜x₂
∴2^x₂-2^x₁＞0又(2^x₁+1)(2^x₂+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
（2）∵f（x）为奇函数且在x=0处有意义，
∴f（0）=0
∴

a

2

-

2⁰

2⁰+1

=0
∴a=1

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必修1 人教A版单选题高中数学

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