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设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-12,1),a>0)(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=x
2
-aln(2x+1)(x∈(-
1
2
,1),a>0)
(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;
(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.
试题解答
见解析
解:(1)函数的导数f'(x)=2x-
2a
2x+1
=
2(2x
2
+x-a)
2x+1
∵函数f(x)在其定义域内是减函数
∴f'(x)≤0在x∈(-
1
2
,1)上恒成立
又∵x∈(-
1
2
,1)时,2x+1>0
∴不等式2x
2
+x-a≤0在x∈(-
1
2
,1)上恒成立,即a≥2x
2
+x在x∈(-
1
2
,1)上恒成立
令g(x)=2x
2
+x,x∈(-
1
2
,1),则g(x)
max
=g(1)=3∴a≥3
(2)∵f'(x)=
2(2x
2
+x-a)
2x+1
,令f'(x)=0
解得
x
1
=
-1-
√
1+8a
4
,
x
2
=
-1+
√
1+8a
4
由于a>0,-
1
2
-x
1
=
√
1+8a
-1
4
>0,
x
2
-(-
1
2
) =
√
1+8a
+1
4
>0
∴
x
1
<-
1
2
<x
2
,
①当
x
2
=
-1+
√
1+8a
4
<1即0<a<3时,在(-
1
2
,x
2
)上f′(x)<0;在(x
2
,1)上f′(x)>0,
∴当x=
-1+
√
1+8a
4
时,函数f(x)在(-
1
2
,1)上取最小值.
②当
x
2
=
-1+
√
1+8a
4
即a≥3时,在[-
1
2
,1]上f′(x)≤0,
∴当x=1时,函数f(x)在[-
1
2
,1]上取最小值.
由①②可知,当0<a<3时,函数f(x)在x=
-1+
√
1+8a
4
时取最小值;
当a≥3时,函数f(x)在x=1时取最小值.(12分)
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