已知复数z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，（1）求k的值；（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=12x+m的图象最多只有一个交点．试题及答案-单选题-云返教育

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已知复数z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=

x+m的图象最多只有一个交点．

见解析

解：（1）z₁z₂=（log₂（2^x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log₂（2^x+1）+kx，
因为函数f（x）是关于x的偶函数所以f（-x）=log₂（2^-x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以k=-

（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-

x，
所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-

log₂x=log_2x+1
√x=log

^{(√x
+1
√x
)}

₂

，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，y_min=

{

log₂(

√a

)(0＜a≤1)

1(a＞1)

（3）函数y=f（x）图象与直线y=

x+m的图象最多只有一个交点，
就是log₂（2^x+1）-

x+m最多只有一个解，就是log₂（2^x+1）=x+m最多只有一个解，
因为函数log₂（2^x+1）是单调增函数，x+m也是单调增函数，
所以对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=

x+m的图象最多只有一个交点．

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