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  • 设函数g(x)=x1+x2(x＞0)，f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（1）证明：函数g（x）在（0，1]单调递增；（2）求I的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）；（3）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数g(x)=
      x
      1+x2
      (x＞0)，f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
      （1）证明：函数g（x）在（0，1]单调递增；
      （2）求I的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）；
      （3）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：∵函数g(x)=
      x
      1+x2
      (x＞0)，
      任取x      1，x2∈（0，1]，且x1＜x2；
      ∴g(x      1)-g(x2)=
      x1
      1+x
      2
      1
      -
      x2
      1+x
      2
      2
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ，
      ∵0＜x      1＜x2≤1，
      ∴x      1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x
      2
      1
      ＞0，1+x
      2
      2
      ＞0；
      ∴g（x      1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），
      ∴函数g（x）在（0，1]单调递增．
      （2）∵f（x）=ax-（1+a      2）x2，其中a＞0，
      且区间I={x|f（x）＞0}，
      ∴f（x）=x[a-（1+a      2）x]＞0，
      ∴x∈(0，
      a
      1+a2
      )，即区间I长度为
      a
      1+a2
      ．
      （3）由（1）知，g(x      1)-g(x2)=
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ，
      当1≤x      1＜x2时，x1-x2＜0，1-x1x2＜0，1+x
      2
      1
      ＞0，1+x
      2
      2
      ＞0，
      ∴g（x      1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）；
      ∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，
      由（2）知，I=g（a）=
      a
      1+a2
      ，又∵k∈（0，1），0＜1-k＜1，1＜1+k＜2，
      ∴函数g（a）在[1-k，1]上单调递增，g（a）在[1，1+k]上单调递减；
      ∴当1-k≤a≤1+k时，I长度的最小值必在a=1-k或a=1+k处取得，
      而
      g(1-k)
      g(1+k)
      =
      1-k
      1+(1-k)2
      1+k
      1+(1+k)2
      =
      2-k2-k3
      2-k2+k3
      ＜1，又g（1+k）＞0，
      ∴g（1-k）＜g（1+k）；
      ∴当a=1-k时，I取最小值g（1-k）=
      1-k
      2-2k+k2
      ．
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