已知函数f(x)=1x2+1．（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

x²

+1．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．

试题解答

见解析

解：（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2分）
证明如下：
设x₁、x₂是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，则（1分）f（x₁）-f（x₂）=(

x₁²

+1)-(

x₂²

+1)=

(x₁+x₂)(x₂-x₁)

(x₁x₂)²

（3分）
∵x₂＞x₁＞0
∴x₁+x₂＞0、x₂-x₁＞0、（x₁x₂）²＞0（1分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（1分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[1，3]上是减函数，（1分）
所以当x=1时，取最大值，最大值为f（1）=2
当x=3时，取最小值，最小值为f(3)=

（3分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=1x2+1．（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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