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  • 如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
      （Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
      （Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）BD=
      √12+12-2×1×1cosθ
      =
      √2-2cosθ
      ，
      S△ABD=
      1
      2
      ×1×1×sinθ=
      1
      2
      sinθ，
      S△BCD=
      √3
      4
      ×BD2=
      √3
      4
      (2-2cosθ)=
      √3
      2
      -
      √3
      2
      cosθ，
      ∴      SABCD=
      1
      2
      sinθ-
      √3
      2
      cosθ+
      √3
      2
      （0＜θ＜π）．
      （Ⅱ）由（Ⅰ）得      SABCD=
      1
      2
      sinθ-
      √3
      2
      cosθ+
      √3
      2
      =sin(θ-
      π
      3
      )+
      √3
      2
      ，
      ∵0＜θ＜π，∴-
      π
      3
      ＜θ-
      π
      3
      ＜
      2π
      3
      ，
      当θ-
      π
      3
      =
      π
      2
      时，即θ=
      5π
      6
      时，S有最大值1+
      √3
      2
      ．
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