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已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
(log
a
x)
2
-log
a
x-2(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a=2时,求f(2);
(Ⅱ)求解关于x的不等式f(
1+x
1-x
)>0;
(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)当a=2时,f(2)=
(log
2
2)
2
-log
2
2-2=1-1-2=-2 ….(2分)
(Ⅱ)令t=
1+x
1-x
,t∈(0,+∞)
f(
1+x
1-x
)>0等价于(log
a
t-2)(log
a
t+1)>0
∴log
a
t>2或log
a
t<-1,
当a>1时,t>a
2
或t<
1
a
∴
1+x
1-x
>a
2
或
1+x
1-x
<
1
a
∴
a
2
-1
a
2
+1
<x<1或-1<x<
1-a
1+a
;
当0<a<1时,t<a
2
或t>
1
a
∴
1+x
1-x
<a
2
或
1+x
1-x
>
1
a
∴-1<x<
a
2
-1
a
2
+1
或
1-a
1+a
<x<1 ….(7分)
(Ⅲ)令log
a
x=v,y=f(v)=v
2
-v-2,对称轴为v=
1
2
.
当a>1时,v∈[log
a
2,log
a
4]
①当1<a≤4,即
1
2
≤log
a
2时,f(v)在[log
a
2,log
a
4]上单调递增,
∴f
min
(v)=f(log
a
2)=(log
a
2)
2
-log
a
2-2=4
∴log
a
2=3或log
a
2=-2(不合题意)
∴a=
3
√
2
②当4<a<16,即log
a
2<
1
2
<log
a
4时,
f
min
(v)=f(
1
2
)≠4;
③当a≥16,即
1
2
≥log
a
4时,f
min
(v)=f(log
a
4)=
(log
a
4)
2
-log
a
4-2=4
∴log
a
4=3或log
a
4=-2(不合题意)
当0<a<1时,v∈[log
a
4,log
a
2],显然
1
2
≥log
a
2,
∴f
min
(v)=f(log
a
2)=(log
a
2)
2
-log
a
2-2=4
∴log
a
2=-2或log
a
2=3(不合题意)
∴a=
√
2
2
综上:a=
3
√
2
或a=
√
2
2
….(12分)
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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