对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f（x）=x2是不是闭函数，若是，请找出区间[a，b]，若不是，请另增加一个条件，使f（x）是闭函数．（3）若函数y=k+√x+2是闭函数，且在定义域内是增函数，求实数k的取值范???．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=x²是不是闭函数，若是，请找出区间[a，b]，若不是，请另增加一个条件，使f（x）是闭函数．
（3）若函数y=k+

√x+2

是闭函数，且在定义域内是增函数，求实数k的取值范???．

试题解答

见解析

解：（1）由题意，∵y=-x³在[a，b]上递减，要使g（x）在[a，b]上的值域为[a，b]
则需

{	b=-a³ a=-b³ b＞a

解得

{

a=-1

b=1

∴所求的区间为[-1，1]
（2）∵函数f（x）=x²的定义域为R，但在[0，+∞）是增函数，在（-∞，0]上是减函数，∴f（x）在R上不满足条件①，∴f（x）不是闭函数．
若D=[0，+∞），则f（x）是D上的增函数，满足条件①，设满足条件②的区间为[a，b]，
则

{	0≤a＜b a²=a b²=b

{

a=0

b=1

∴存在区间[a，b]=[0，1]使f（x）满足条件②
∴f（x）=x²（x∈[0，+∞））是闭函数，增加的条件是：D=[0，+∞）．
（3）∵函数y=k+

√x+2

在[-2，+∞）单调递增，若y=k+

√x+2

是闭函数，
则存在区间[a，b]?[-2，+∞），使得在区间[a，b]上值域为[a，b]，
即

{	a=k+ √a+2 b=k+ √b+2

，
∴a，b为方程x=k+

√x+2

的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根．
令h（x）=x²-（2k+1）x+k²-2
有

{

△＞0

f(-2)≥0

f(k)≥0

2k+1

＞-2

，解得-

＜k≤-2．
∴k的取值范围为(-

，-2]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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