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已知二次函数y=g(x)在(-∞,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,最小值为m-1(m≠0),且y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行,设f(x)=g(x)x.(Ⅰ)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,-2)的距离的最小值为√2,求m的值;(Ⅱ)若m=1,方程f(2x)-k?2x=0在x∈[-1,1]上有实数解,求实数k的范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知二次函数y=g(x)在(-∞,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,最小值为m-1(m≠0),且y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行,设f(x)=
g(x)
x
.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,-2)的距离的最小值为
√
2
,求m的值;
(Ⅱ)若m=1,方程f(2
x
)-k?2
x
=0在x∈[-1,1]上有实数解,求实数k的范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)依题可设g(x)=a(x-1)
2
+m-1(a≠0),则g'(x)=2a(x-1)=2ax-2a;
又g′(x)的图象与直线y=2x平行∴2a=2,a=1
∴g(x)=(x-1)
2
+m+1=x
2
-2x+m,f(x)=
g(x)
x
=x+
m
x
-2,
设P(x
0
,y
0
),则|PQ|
2
=x
0
2
+(y
0
+2)
2
=
x
0
2
+(x
0
+
m
x
0
)
2
=2
x
2
0
+
m
2
x
2
0
+2m≥2
√
2m
2
+2m=2
√
2
|m|+2m
当且仅当2
x
2
0
=
m
2
x
2
0
时,|PQ|
2
取得最小值,即|PQ|取得最小值
√
2
当m>0时,
√
(2
√
2
+2)m
=
√
2
解得m=
√
2
-1m=
√
2
-1
当m<0时,
√
(-2
√
2
+2)m
=
√
2
解得m=-
√
2
-1
(Ⅱ)m=1,方程f(2
x
)-k?2
x
=0化为
2
x
+
1
2
x
-2=k?2
x
1+(
1
2
x
)
2
-2
1
2
x
=k,
令
1
2
x
=t,k=t
2
-2t+1
∵x∈[-1,1]∴t∈[
1
2
,2]记?(t)=t
2
-2t+1
∴?(t)在t∈[
1
2
,1]上单调递减,在t∈[1,2]上单调递增,
∴?(
1
2
)=(1-
1
2
)
2
=
1
4
?(2)=(2-1)
2
=1F(1)=(1-1)
2
=0
根据题意 方程k=t
2
-2t+1在t∈[
1
2
,2]内有实数解,∴0≤k≤1
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