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已知函数f(x)=logax-3x+3,g(x)=f(x)+x3+2(1)若g(t)=3求g(-t)的值(2)若f(x)的定义域为[α,β),值域为(logaa(β-1),logaa(α-1)]①求证:a>3②若函数f(x)为[α,β)上的减函数,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
log
a
x-3
x+3
,g(x)=f(x)+x
3
+2
(1)若g(t)=3求g(-t)的值
(2)若f(x)的定义域为[α,β),值域为(log
a
a(β-1),log
a
a(α-1)]
①求证:a>3
②若函数f(x)为[α,β)上的减函数,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由题意得
x-3
x+3
>0,得x>3或x<-3;(1分)
∵f(-x)=
log
a
-x-3
-x+3
=
log
a
x+3
x-3
=-
log
a
x-3
x+3
=f(-x)
∴f(x)为奇函数;(3分)
∵g(x)=f(x)+x
3
+2,g(t)=3
∴g(t)+g(-t)=f(t)+t
3
+2+f(-t)+(-t)
3
+2=4
∴g(t)+g(-t)=4.故g(-t)=1(5分)
(2)由(1)知f(x)的定义域(-∞,-3)∪(3,+∞)
①∵a(α-1)>0且a>0,则α>1,
又∵已知f(x)的定义域为[α,β),
∴β>α>3.则α>3.(8分)
②∵函数y=
x-3
x+3
=1-
6
x+3
在其定义域[α,β)上为增函数,
又∵f(x)在[α,β)上为减函数,∴0<a<1;(9分)
∵f(x)的定义域为[α,β),值域为(log
a
a(β-1),log
a
a(α-1)]
∴
log
α-3
α+3
a
=log
a
a(α-1)
且
log
β-3
β+3
a
=log
a
a(β-1),
说明α,β 是方程
x-3
x+3
=a(x-1)的两个相异实数根,且β>α>3,
即方程ax
2
+(2a-1)x+3-3a=0在区间(3,+∞)内有两相异实根.
设h(x)=ax
2
++(2a-1)x+3-3a,
则有
{
△=(2a-1)
2
-4a(3-3a)>0
-
2a-1
2a
>3
h(3)>0
,解
{
a<
2-
√
3
4
或a>
2+
√
3
4
a<
1
8
a>0
又∵0<a<1,
综上解得:0<a<
2-
√
3
4
,
∴满足条件的a的取值范围是(0,
2-
√
3
4
).(14分)
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