已知函数f(x)=x2x-2，(x∈R，且x≠2）（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=x2-2ax与函数f（x）在x∈[0，1]时有相同的值域，求a的值；（3）设a≥1，函数h（x）=x3-3a2x+5a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得h（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

x²

x-2

，(x∈R，且x≠2）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=x²-2ax与函数f（x）在x∈[0，1]时有相同的值域，求a的值；
（3）设a≥1，函数h（x）=x³-3a²x+5a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得h（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f(x)=

x²

x-2

[(x-2)+2]²

x-2

=(x-2)+

x-2

+4，
易得f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（4，+∞）；单调递减区间为（0，2），（2，4）．（5分）
（2）∵f（x）在x∈[0，1]上单调递减，
∴其值域为[-1，0]，
即x∈[0，1]，g（x）∈[-1，0]．
∵g（0）=0为最大值，
∴最小值只能为g（1）或g（a），
若g（1）=-1?

{	a≥1 1-2a=-1

?a=1；
若g（a）=-1?

{

≤a≤1

-a²=-1

?a=1．
综上得a=1；（10分）
（3）设h（x）的值域为A，由题意知，[-1，0]?A．以下先证h（x）的单调性：设0≤x₁＜x₂≤1，
∵h（x₁）-h（x₂）=x₁³-x₂³-3a²（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
（a≥1?3a²≥3，x₁²+x₁x₂+x₂²＜3），
∴h（x）在[0，1]上单调递减．
∴

{	h_max=h(0)=5a≥0 h_min=h(1)=1-3a²+5a≤-1

?a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞）（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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