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设函数f(x)=2x2+2xx2+1,函数g(x)=ax2+5x-2a.(1)求f(x)在[0,1]上的值域;(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=
2x
2
+2x
x
2
+1
,函数g(x)=ax
2
+5x-2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若对于任意x
1
∈[0,1],总存在x
0
∈[0,1],使得g(x
0
)=f(x
1
)成立,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)y=
2x
2
+2x
x
2
+1
=
2(x
2
+1)+2x-2
x
2
+1
=2+
2(x-1)
x
2
+1
,
令x-1=t,则x=t+1,t∈[-1,0],y=2+
2t
t
2
+2t+2
,
当t=0时,y=2;当t∈[-1,0),y=2+
2
t+
2
t
+2
,
由对勾函数的单调性得y∈[0,2),故函数在[0,1]上的值域是[0,2];
(2)f(x)的值域是[0,2],要g(x
0
)=f(x
1
)成立,则[0,2]?{y|y=g(x),x∈[0,1]}
①当a=0时,x∈[0,1],g(x)=5x∈[0,5],符合题意;
②当a>0时,函数g(x)的对称轴为x=-
5
2a
<0,故当x∈[0,1]时,函数为增函数,则g(x)的值域是[-2a,5-a],由条件知[0,2]?[-2a,5-a],∴
{
a>0
-2a≤0
5-a≥2
?0<a≤3;
③当a<0时,函数g(x)的对称轴为x=-
5
2a
>0.
当0<-
5
2a
<1,即a<-
5
2
时,g(x)的值域是[-2a,
-8a
2
-25
4a
]或[5-a,
-8a
2
-25
4a
],
由-2a>0,5-a>0知,此时不合题意;当-
5
2a
≥1,即-
5
2
≤a<0时,g(x)的值域是[-2a,5-a],
由[0,2]?[-2a,5-a]知,由-2a>0知,此时不合题意.
综合①②③得0≤a≤3.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
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第4章 函数应用
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函数零点的判定定理
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