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  • 已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
      （1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
      （2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=
      {
      x2-2x-3(x≥4)
      -x2+6x-3(x＜4)

      =
      {
      (x-1)2-4(x≥4)
      -(x-3)2+6(x＜4)
      （ 6分）
      ∵x∈[1，5]
      ∴f（x）在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，在[4，5]上递增．
      ∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
      ∴f（x）的值域为[2，12]（ 10分）
      （2）f（x）=x|x-m|+2x-3=
      {
      x2-(m-2)x-3(x≥m)
      -x2+(m+2)x-3(x＜m)

      =
      {
      (x-
      m-2
      2
      )2-3-(
      m-2
      2
      )2(x≥m)
      -(x-
      m+2
      2
      )2-3+(
      m+2
      2
      )2(x＜m)

      因为f（x）在R上为增函数，所以
      {
      m-2
      2
      ≤ m
      m+2
      2
      ≥ m
      -2≤m≤2． （15分）
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