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  • 设函数f（x）=x+px（p＞0）．（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x+
      p
      x
      （p＞0）．
      （1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；
      （2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；
      （3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由p=4知，f（x）=x+
      4
      x
      ，f（x）在（0 2）内是减函数．
      证明：任意设 0＜x      1＜x2＜2，
      由于f（x      1）-f（x2）=（x1+
      4
      x1
      ）-（x2+
      4
      x2
      ）=-（x2-x1）+
      4(x2-x1)
      x1?x2

      =（x      2-x1）（
      4
      x1?x2
      -1）=（x2-x1）?
      4-x1?x2
      x1?x2
      ．
      由题设可得 （x      2-x1）＞0，0＜x1?x2＜4，∴
      4-x1?x2
      x1?x2
      ＞0，
      故f（x      1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0 2）内是减函数．
      （2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x      1＜x2＜2，
      则可得f（x      1）-f（x2）=（x2-x1）?
      p-x1?x2
      x1?x2
      ＞0．
      由题设可得 （x      2-x1）＞0，0＜x1?x2＜4，∴p≥4．
      （3）由p=8，可得f（x）=x+
      8
      x
      ，
      由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+
      8
      2
      =6，即 f（x）＞6．
      故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．
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