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设a＞0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a＞0，f(x)=

e^x

a

+

a

e^x

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

试题解答

见解析

解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（-x）=f（x），即

1

ae^x

+ae^x=

e^x

a

+

a

e^x

∴(a-

1

a

)(e^x-

1

e^x

)=0对一切x∈R成立，则a-

1

a

=0，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）设0＜x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=e^x₁-e^x₂+

1

e^x₁

-

1

e^x₂

=(e^x₂-e^x₁)(

1

e^x₁+x₂

-1)=e^x₁(e^x₂-x₁-1)

1-e^x₂+x₁

e^x₂+x₁

，
由x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
得x₁+x₂＞0，e^x₂-x₁-1＞0，
得1-e^x₂+x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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