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  • 已知：函数f（x）=x-1x，（1）求：函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：函数f（x）=x-
      1
      x
      ，
      （1）求：函数f（x）的定义域；
      （2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
      （3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
      （2）定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）-
      1
      -x
      =-x+
      1
      x
      =-f(x)，
      则：函数f（x）是奇函数；
      （3）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
      证明：任取x      1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
      f(x      1)-f(x2)=x1-
      1
      x1
      -x2+
      1
      x2
      =(x1-x2)+
      x1-x2
      x1x2
      =(x1-x2)(1+
      1
      x1x2
      )
      ∵x      1＜x2，∴x1-x2＜0，
      ∵x      1，x2∈（0，+∞），∴1+
      1
      x1x2
      ＞0，
      ∴f(x      1)-f(x2)=(x1-x2)(1+
      1
      x1x2
      )＜0，即f（x1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
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