已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，且f（1）=12（1）求实数m，n的值；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）试画出函数 y=f（x）草图．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

mx+n

1+x²

是定义在R上的奇函数，且f（1）=

（1）求实数m，n的值；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）试画出函数 y=f（x）草图．

见解析

解：（1）∵函数f（x）=

mx+n

1+x²

是定义在R上的奇函数，
∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）

即

-mx+n

1+x²

mx+n

1+x²

，∴-mx+n=-mx-n恒成立，∴n=0
又∵f（1）=

∴

m×1

1+1²

，解得m=1
综上m=1，n=0；
（2）由（1）知，f（x）=

1+x²

，
任取x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=

x₁

1+x₁²

x₂

1+x₂²

(x₁-x₂)(1-x₁x₂)

(1+x₁²)(1+x₂²)

，
∵x₁、x₂∈（-1，1），故1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+ x₂²＞0，
∵x₁＜x₂故x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）函数 y=f（x）的草图，如图所示：

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