已知f(x)=loga1-kxx-1(a＞1)是奇函数（Ⅰ）求k的值，并求该函数的定义域；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f(x)=log_a

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函数
（Ⅰ）求k的值，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．

见解析

解：（Ⅰ）∵f(x)=log_a

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，即log_a

1-kx

x-1

1+kx

-x-1

=0
则1-k²x²=1-x²，即k=±1，（3分）
当k=1时，

1-kx

x-1

=-1＜0，所以k=-1（14分）
定义域为：{x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，则f(x₁)-f(x₂)=log_a

(x₁+1)(x₂-1)

(x₁-1)(x₂+1)

（8分）
又（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＜0∴0＜

(x₁+1)(x₂-1)

(x₁-1)(x₂+1)

＜1，又a＞1，
∴log_a

(x₁+1)(x₂-1)

(x₁-1)(x₂+1)

＜0（10分）
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数（12分）

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