已知函数f(x)=a-22x+1．（1）求f（0）；（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）＜f（2）的x的范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=a-

2^x+1

．
（1）求f（0）；
（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）＜f（2）的x的范围．

见解析

解：（1）f（0）=a-

2⁰+1

=a-1．
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x₁)-f(x₂)=a-

2^x₁+1

-a+

2^x₂+1

2?(2^x₁-2^x₂)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

．
∵y=2^x在R是单调递增且x₁＜x₂
∴0＜2^x₁＜2^x₂
∴2^x₁-2^x₂＜0
2^x₁+1＞0
2^x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x），
即a-

2^-x+1

=-a+

2^x+1

，
解得：a=1．
∴f（ax）＜f（2）
即为f（x）＜f（2）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＜2．

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