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  • 已知：函数f(x)=ax+bx+c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f(1)=52，f(2)=174（1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间（0，12）上的单调性并说明理由；（3）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：函数f(x)=ax+
      b
      x
      +c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f(1)=
      5
      2
      ，f(2)=
      17
      4

      （1）求a，b，c的值；
      （2）试判断函数f（x）在区间（0，
      1
      2
      ）上的单调性并说明理由；
      （3）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=ax+
      b
      x
      +c是奇函数，满足f（-x）=-f（x），∴c=0
      ∵
      {
      f(1)=
      5
      2
      f(2)=
      17
      4
      ，∴
      {
      a+b=
      5
      2
      2a+
      b
      2
      =
      17
      4
      ，解之得a=2，b=
      1
      2

      （2）由（1）可得f（x）=2x+
      1
      2x

      ∴f（x）=2x+
      1
      2x
      在区间（0，0.5）上是单调递减的
      证明：设任意的两个实数0＜x      1＜x2＜
      1
      2

      ∵f（x      1）-f（x2）=2（x1-x2）+
      1
      2x1
      -
      1
      2x2
      =2（x1-x2）+
      x2-x1
      2x1x2

      =
      (x2-x1)(1-4x1x2)
      2x1x2

      又∵0＜x      1＜x2＜
      1
      2

      ∴x      1-x2＜0，0＜x1x2＜
      1
      4
      ，1-4x1x2＞0，可得f（x1）-f（x2）＞0
      即对任意0＜x      1＜x2＜
      1
      2
      ，均有f（x1）＞f（x2）
      ∴f（x）=2x+
      1
      2x
      在区间（0，
      1
      2
      ）上是减函数．
      （3）由（2）得f（x）=2x+
      1
      2x
      在区间（0，0.5）上是单调递减函数．
      类似地可证出对任意x      1＞x2＞
      1
      2
      ，均有f（x1）＞f（x2），
      可得f（x）=2x+
      1
      2x
      在区间（
      1
      2
      ，+∞）上是增函数．
      因此，函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（
      1
      2
      ）=2．
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