给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1（x）=2x-1，f2（x）=-12x2-12x+1，f3（x）=2x-1，f4（x）=cosx．；（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=5x-ax+2在D2上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

x²-

x+1，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）∵f₁（

）=0?（0，1），
∴f（x）在D₁上不封闭；
∵f₂（x）=-（x+

）²+

在（0，1）上是减函数，
∴0＜f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）∈（0，1）?f₂（x）在D₁上封闭；
∵f₃（x）=2^x-1在（0，1）上是增函数，∴0=f₃（0）＜f₃（x）＜f₃（1）=1，
∴f₃（x）∈（0，1）?f₃（x）在D₁上封闭；
∵f₄（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f₄（1）＜f₄（x）＜f₄（0）=1，
∴f₄（x）∈（cos1，1）?（0，1）?f₄（x）在D₁上封闭；
（2）f（x）=5-

a+10

x+2

，假设f（x）在D₂上封闭，对a+10讨论如下：
若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有

{	f(1)≥1 f(2)≤2

{

a≤2

a≥2

?a=2
若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有

{	f(1)≤2 f(2)≥1

{

a≥-1

a≤-6

，无解，
综上可得，a=2时f（x）在D₂上封闭．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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