已知函数f（x）满足f( loga x)=aa2-1(x-x-1)，其中a＞0，a≠1．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）若函数f（x）的定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）满足f( log_a x)=

a²-1

(x-x^-1)，其中a＞0，a≠1．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若函数f（x）的定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）令log_ax=t，则x=a^t所以f（t）=

a²-1

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

a²-1

（a^x-a^-x），
任取x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a²-1

[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]
=

a²-1

[（a^x₁-a^x₂）-（a^-x₂-a^-x₁）]
=

a²-1

[（a^x₁-a^x₂）（1+a^-x₂-a^-x₁）]
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）为R上的增函数；
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）也为R上的增函数；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=

a²-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
因为函数f（x）的定义域是（-1，1）
所以有-1＜1-m＜1 ①
-1＜1-m²＜1 ②
又f（x）是奇函数，所以f（1-m）+f（1-m²）＞0可变为f（1-m）＞f（m²-1）
又f（x）在（-1，1）内是减函数，所以1-m＜m²-1 ③
由①、②、③得 1＜m＜

√2

．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）满足f( loga x)=aa2-1(x-x-1)，其中a＞0，a≠1．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）若函数f（x）的定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题