见解析
解：（1）f （x）的单调增区间为[1，+∞）
下面用定义证明：设x1、、x2是[1，+∞）上任意两个值，且x1＜x2
则f （x1）-f （x2）=x12-2x1+3-（x22-2x2+3）
=（x1-x2）（x1+x2-2）
∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2-2＞0
∴∴f （x1）-f （x2）＜0
∴f （x1）＜f （x2）
∴f （x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）∵f （x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f （x）在[2，3]上是增函数
∴2≤x≤3时，f（x）的最大值f （3）=6，最小值f （1）=2，值域为[2，6]．
