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  • 设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f(a)．若映射f：V→V满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则f(0)=0②对a∈V设f(a)=2a，则f是平面M上的线性变换；③若e是平面M上的单位向量，对a∈V设f(a)=a-e，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，若a，b共线，则f(a)，f(b)也共线．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，
      a
      ∈V，记
      a
      的象为f(
      a
      )．若映射f：V→V满足：对所有
      a
      ，
      b
      ∈V及任意实数λ，μ都有f(λ
      a
      +μ
      b
      )=λf(
      a
      )+μf(
      b
      )，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
      ①设f是平面M上的线性变换，则f(
      0
      )=
      0

      ②对
      a
      ∈V设f(
      a
      )=2
      a
      ，则f是平面M上的线性变换；
      ③若
      e
      是平面M上的单位向量，对
      a
      ∈V设f(
      a
      )=
      a
      -
      e
      ，则f是平面M上的线性变换；
      ④设f是平面M上的线性变换，
      a
      ，
      b
      ∈V，若
      a
      ，
      b
      共线，则f(
      a
      )，f(
      b
      )也共线．
      其中真命题是                （写出所有真命题的序号）

      试题解答

      ①②④
      解：令
      a
      =
      b
      =
      0
      ，λ=μ=1，
      由题有f（
      0
      ）=2f（
      0
      ）?f（
      0
      ）=
      0
      ，故①正确；
      由题f（λ
      a
      +μ
      b
      ）=2（λ
      a
      +μ
      b
      ），
      λf（
      a
      ）+μf（
      b
      ）=2λ
      a
      +2μ
      b
      ）=2（λ
      a
      +μ
      b
      ），
      即f（λ
      a
      +μ
      b
      ）=λf（
      a
      ）+μf（
      b
      ），故②正确；
      由题f（λ
      a
      +μ
      b
      ）=λ
      a
      +μ
      b
      -
      e
      ，
      λf（
      a
      ）+μf（
      b
      ）=λ
      a
      -
      e
      +μ
      b
      -
      e
      ，，
      即f（λ
      a
      +μ
      b
      ≠λf（
      a
      ）+μf（
      b
      ），故③不正确；
      由题
      b
      =λ
      a
      ，f（
      0
      ）=f（
      a
      -λ
      b
      ）=f（
      a
      ）-λf（
      b
      ）
      0
      ?f（
      a
      ）=λf（
      b
      ），
      即f（
      a
      ），f（
      b
      ）也共线，故④正确；
      故答案为：①②④
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      必修1人教A版单选题高中数学

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