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设函数f（x）=cos2x+asinx-a4-12．（1）当 0≤x≤π2时，用a表示f（x）的最大值M（a）；（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值；（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解？试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

．
（1）当 0≤x≤

π

2

时，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值；
（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解？

试题解答

见解析

解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

，
∵0≤x≤

π

2

∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则f（t）=-t²+at+

2-a

4

，t∈[0，1]
∴M（a）=

{

3a

4

-

1

2

(a≥2)

1

2

-

a

4

+

a²

4

(0＜a≤2)

1

2

-

a

4

(a≤0)

．
（2）当M（a）=2时，

3a

4

-

1

2

=2?a=

10

3

；

1

2

-

a

4

+

a²

4

=2?a=3或a=-2（舍）；

1

2

-

a

4

=2?a=-6．
∴a=

10

3

或a=-6．
①当a=-6时，f（x）_min=-5；
②当a=

10

3

时，f（x）_min=-

1

3

．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx
即-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

=（1+a）sinx，
即

2-a

4

=sin²x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin²x+sinx∈[-

1

4

，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．
∴

2-a

4

∈（0，2）∪{-

1

4

}，
∴-6＜a＜2或a=3．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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