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  • 设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)…]}{n个f，已知f(x)={2(1-x)x-1，，(0≤x≤1)(1＜x≤2)．（1）解不等式：f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；（3）探求f2009(89)；（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设n为正整数，规定：fn(x)=
      f{f[…f(x)…]}
      {
      n个f
      ，已知f(x)=
      {
      2(1-x)
      x-1
      ，，(0≤x≤1)(1＜x≤2)．
      （1）解不等式：f（x）≤x；
      （2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f      3（x）=x；
      （3）探求      f2009(
      8
      9
      )；
      （4）若集合B={x|f      12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．

      试题解答

      见解析
      解：（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥
      2
      3
      ．
      ∴
      2
      3
      ≤x≤1．
      ②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
      ∴1＜x≤2．
      由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|
      2
      3
      ≤x≤2}．
      （2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
      ∴当x=0时，f      3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
      当x=1时，f      3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
      当x=2时，f      3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
      即对任意x∈A，恒有f      3（x）=x．
      （3）      f1(
      8
      9
      )=2(1-
      8
      9
      )=
      2
      9
      ，
      f2(
      8
      9
      )=f(f(
      8
      9
      ))=f(
      2
      9
      )=
      14
      9
      ，
      f3(
      8
      9
      )=f(f2(
      8
      9
      ))=f(
      14
      9
      )=
      14
      9
      -1=
      5
      9
      ，
      f4(
      8
      9
      )=f(f3(
      8
      9
      ))=f(
      5
      9
      )=2(1-
      5
      9
      )=
      8
      9
      ，
      一般地，      f4k+r(
      8
      9
      )=fr(
      8
      9
      )（k，r∈N）．
      ∴      f2008(
      8
      9
      )=f0(
      8
      9
      )=
      8
      9

      （4）由（1）知，f（
      2
      3
      ）=
      2
      3
      ，∴fn（
      2
      3
      ）=
      2
      3
      ，则f12（
      2
      3
      ）=
      2
      3
      ，∴
      2
      3
      ∈B．
      由（2）知，对x=0、1、2，恒有f      3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈B．
      由（3）知，对x=
      8
      9
      、
      2
      9
      、
      14
      9
      、
      5
      9
      ，恒有f12（x）=x，∴
      8
      9
      、
      2
      9
      、
      14
      9
      、
      5
      9
      ∈B．
      综上所述
      2
      3
      、0、1、2、
      8
      9
      、
      2
      9
      、
      14
      9
      、
      5
      9
      ∈B．
      ∴B中至少含有8个元素．
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