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  • 已知函数f(x)=|1-1x|， (x＞0)．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=|1-
      1
      x
      |， (x＞0)．
      （1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
      （2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（a）=f（b）得|1-
      1
      a
      |=|1-
      1
      b
      |，1-
      1
      a
      =±(1-
      1
      b
      )，得a=b（舍）或
      1
      a
      +
      1
      b
      =2
      ∴2=
      a+b
      ab
      ≥
      2
      √ab
      ab
      =
      2
      √ab
      ，∴
      √ab
      ≥1
      ∵a≠b，∴等号不可以成立，故ab＞1…..…（5分）
      （2）不存在.f(x)=
      {
      1-
      1
      x
      x≥1
      1
      x
      -1 x＜1
      ，
      ①当a，b∈（0，1）时，f(x)=
      1
      x
      -1在（0，1）上单调递减，可得
      {
      f(a)=b
      f(b)=a

      ∴
      {
      1
      a
      -1=b
      1
      b
      -1=a
      ，
      1
      a
      -
      1
      b
      =b-a得b=
      1
      a
      ，-1=0矛盾
      ②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0，则0∈[a，b]矛盾
      ③当a，b∈[1，+∞)，f(x)=1-
      1
      x
      在（1，+∞）上单调递增，可得
      {
      f(a)=a
      f(b)=b
      ∴
      {
      1-
      1
      a
      =a
      1-
      1
      b
      =b
      ，a，b是方程1-
      1
      x
      =x的两个根，此方程无解； …（11分）
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