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  • 如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠ADC与∠BCD的平分线的交点E落在AB上，下列结论：①AD+BC=DC；②DE2=DA?DC；③AB2=2AD?BC；④若设AD=a，AB=b，BC=c，则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，其中正确的结论有（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠ADC与∠BCD的平分线的交点E落在AB上，下列结论：①AD+BC=DC；②DE2=DA?DC；③AB2=2AD?BC；④若设AD=a，AB=b，BC=c，则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，其中正确的结论有（　　）

      试题解答

      C
      解：①取DC的中点F，连接FE，
      ∵直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，
      ∠ADC+∠BCD=180°，
      又∵DE、EC分别平分∠ADC与∠BCD，
      ∴∠EDC+∠ECD=90°，
      ∴∠DEC=90°，
      ∵点F是DC的中点，
      ∴EF=DF，CF=EF，DC=2FE，
      ∴∠FEC=∠FCE=∠ECB，
      ∴EF∥BC，
      ∴点E是AB的中点，
      ∴EF是梯形的中位线，
      ∴AD+BC=2FE=DC．故①正确．
      ②在直角梯形ABCD中，
      ∠A=∠DEC=90°，∠AED=∠ECD，
      ∴△ADE∽△EDC，
      ∴
      AD
      DE
      =
      DE
      DC
      ，
      即DE      2=DA?DC．故②正确．
      ③在直角梯形ABCD中，
      ∠A=∠B=90°，∠AED=∠ECB，
      ∴△ADE∽△BEC，
      ∴
      AD
      BE
      =
      AE
      BC
      ，
      由①知，AE=BE，
      AE      2=AD?BC，
      即AB      2=4AD?BC．故③错误．
      ④若设AD=a，AB=b，BC=c，
      由③知，AB      2=4AD?BC，
      即b      2=4ac，所以b2-4ac=0，
      ∴关于x的方程ax      2+bx+c=0有两个相等的实数根．
      故答案选C．
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